Pyth med Phi!!

I det gamle Egypten (så skal vi helt tilbage til 4000 - 2000 f.Kr.), brugte man den rette vinkel, når man byggede pyramider og diger - for at undgå Nilens oversvømmelser.

De håndværkere, der lavede rette vinkler, blev kaldt rebstrækkere. På et reb havde de bundet tretten knuder med lige lange mellemrum. Rebet blev så spændt ud med pæle ved fjerde, ottende og trettende knude.

Som det kan ses havde man så et retvinklet trekant - lige klar til brug. Den rette vinkel ligger overfor den længste side, som er fem enheder lang. De andre sider er tre og fire enheder lange.
Hvorfor mon disse sidetal giver retvinklede trekanter??
Omkring 600-500 f.Kr. fandt en græsk filosof og matematiker frem til svaret.
Han hed Pythagoras. Dvs. det er ham der har fået æren, men man mener at bobylonierne kendte reglen. Det menes dog at det er Pythagoras der først førte bevis for reglen. Babylonierne havde ellers et 60-talsystem uden nul, de delte året ind i 360 dage og det er måske dem, der fandt ud af at hvis man lavede symboler i sandet kunne man regne hurtigere end på fingrene.

Hvad var det så Pythagoras eller babylonierne fandt ud af??
Lad os se på rebstrækkernes 3-4-5 trekant igen. Nu har vi tegnet kvadrater ind på trekantens sider:

Opgave 38. Bestem arealet af de tre kvadrater

Er der nogen sammenhæng mellem arealerne?

Opgave 37.

I Indien fandt man frem til, at også andre sidetal gav retvinklede trekanter.
Eks.: 5-12-13 og 15-36-39.

Find flere retvinklede trekanter, hvis sidetal er hele tal.

Grækerne tegnede sig frem til en retvinklet trekant, der medførte opdagelsen af nogle helt nye tal!!

Den retvinklede trekant havde to sider, som begge var én enhed lang. Den tredje side, altså den længste (overfor den rette vinkel) havde så længden X.
Hvad var X²
Som I har erfaret ovenfor, er der en sammenhæng mellem de tre sider, således at summen af kvadraterne på de to korte er lig med

kvadratet på den lange.
- altså:
x² = 1² + 1²
x² = 2
x = kvadratroden af 2

Se det var jo et nyt tal man ikke tidligere havde kendt - en rigtig julegave!!
Grækerne kaldte et sådant tal for: "uudsigeligt". Det kunne jo ikke siges med de kendte talord, men tallet fandtes for grækerne havde jo tegnet det!! Vi kalder den slags tal for ir-rationelle tal, hvilket betyder dem der ikke er rationelle = forhold/brøker, da tallet ikke var et helt tal - der var ingen hele tal, der ganget med sig selv gav 2. Det var heller ikke en brøk. Skriver man 2 på brøkform får man 2/1, og her løber vi igen ind i problemet: at tælleren på det ukendte tal ganget med sig selv skal give 2!!!!! Altså en helt nyt slags tal!

Vi har altså de naturlige tal, som var dem det hele startede med. Det er alle hele positive tal: N = { 1,2,3,4,5,6,....}
Så bygger vi ovenpå med negative tal og nul, og herved får vi en mængde kaldet de hele tal: Z = {...-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,...}
Så kommer brøkerne oveni. Alle hele tal kan skrives på brøkform, men derudover kommer halve og kvarte osv. Det bliver i alt til de rationelle tal, da ratio betyder forhold, og brøker netop er forholdet mellem to tal. Den mængde bliver betegnet med bogstavet: Q. Og den bliver besværlig at sætte op på listeform.
Også er der den "nye" slags tal, dem der ikke kan skrives som et forhold mellem to hele tal - de irrationelle tal. Og når vi så bygger dem til de rationelle tal får vi de relle tal: R - altså hele tallinjen.

Vi kan bevise at for en retvinklet trekant gælder:

c² = a² + b²

Dem bruger vi til at lave en figur 1:

Figur 1 er et kvadrat med siden (a + b).

Nu bruger vi de samme fire kongruente trekanter til at lave en figur 2.

Figur 2 er også et kvadrat med siden (a + b).

Altså er figur 1 og figur 2 et kvadrat med samme areal.
Før vi kan komme videre, må vi bevise, at den inderste figur i figur 2 er et kvadrat.

Opgave 36.

Bevis at den inderste figur er et kvadrat.
- hvor mange grader er V1 og V2 tilsammen?
- hvor mange grader er V1, V2 og V3 tilsammen?
- hvor mange grader er V3 ?

Når vi fjerner de fire kongruente trekanter fra både figur 1 og figur 2, får vi to nye figurer.

De må også være lige store, da vi har fjernet to lige store arealer fra to lige store figurer.

Dermed må c² = a² + b²!